lighting
Light Of GuidancE
کاربر ماندگار
در سال 1931 میلادی کورت گودل گزاره مشهور خود به نام کمال ناپذیری را به چاپ رساند.
او در ابتدای رساله خود چنین می گوید:
تکامل ریاضیات در جهت دقت بیشتر موجب شده است که شاخه های بسیاری از آن به شکل صوری در آید، به طوری که با استفاده از عده کمی از قوانین مکانیکی می توان اثبات گزاره ها را انجام داد. جامعترین سیستم صوری حال حاضر از یک سو اصول ریاضیات نوشته راسل و از سوی دیگر سیستم اصول تئوری مجموعه ها اثر فرانکل است .( زیاد به این دو کتاب دقت نکنید همه مباحث این دو کتاب رو قبلا خوندین و بلد هستید
)
با استفاده از این اصول می توان تمام اثبات های ریاضیات را انجام داد .
اما ما تو این بحث اثبات می کنیم که این جمله درست نیست و مسائلی وجود داره که با استفاده از این روش ها قادر به اثبات آن نخواهیم بود.
گودل در ادامه بیان می کند:
که این مطلب به ویژگی خاص دو سیستم مورد بحث بستگی ندارد بلکه در انواع بسیاری از سیسم های ریاضی صدق می کند.
عمرا اگه تا اینجا کسی چیزی فهمیده باشه واسه همین مثال گودل رو بیان می کنیم.
یک سیستم اصول با خواص زیر رو در نظر بگیرید. نخست برای مجموعه های گوناگون اعداد صحیح مثبت تعیین نام می کنیم و این مجموعه ها را در یک رشته نامحدود a1,a2,...an مرتب می کنیم.
بازم تعریف داریم و اون هم این هست که سیستم اصول یعنی چی؟ سیستم اصول به رشته معینی از عبارت ها گفته میشه که بر اساس قاعده هایی دقیق ساخته می شن
بازم متوجه نشدین حق دارین
حالا توضیح میدم الان
فرض کنید یه ماشین حساب داریم که واقعیت های گوناگون در مورد اعداد صحیح مثبت رو اثبات می کنه! یعنی مثلا اثبات می کنه که این عدد اول هست یا نه زوج هست یا فرد و امثال این
به این ماشین حساب ما میگیم یه سیستم اصول هست( بعضی ها هم می گن سیستم اصول-اثبات چون اثبات هاشون در هر رشته قرار می گیره)
خب این مجموعه های بالا مثلا می تونن اعداد فرد ، اعداد زوج، مضارب عدد 7 و ... باشند( باید توجه کرد که درسته این رشته ها بی نهایت هستند ولی از خود مجموعه اصلی که اعداد صحیح و مثبت هست کوچکتر هستند و می توان طبقه بندیشون کرد)
عدد n رو شاخص مجموعه نامپذیر a می گوییم هر گاه داشته باشیم a=an ( به عنوان مثال اگر مجموعه های a2 , a7, a5 مساوی باشند اعداد2 7 5 شاخص های این مجموعه ها خواهد بود)
همچنین به هر عدد x و y یک عبارت ارتباط می دهیم که به صورت x<y نوشته می شود( علامت زیر مجموعه نداشتیم کوچکتر گذاشتم)
و اگر x به ay تعلق داشته باشد عبارت را درست و اگر x به ay تعلق نداشته باشد عبارت را نادرست می نامیم.
در هر حال هر عبارت را تحت عنوان عبارت درست یا عبارت نادرست طبقه بندی می کنیم.
به هر عبارت سیستم یک عدد رمز نسبت می دهیم و آن را عدد گودل می نامیم و x*y را به عنوان عدد گودل عبارت x<ay نمایش می دهیم
( علامت ضرب نیست! صرفا جهت نمایش عدد بوده است و در رمز گذاری های مختلف این نمایش متفاوت هست)
عبارت های معینی را به عنوان اصول سیستم در نظر می گیریم، و قاعده های معینی را که با استفاده از آنها بتوان عبارت های گوناگونی را براساس اصول سیسم اثبات کرد مطرح می کنیم. بنابراین هر عبارت در سیستم دارای یک خاصیت معین( خاصیت اثبات پذیری)است. فرض می کنیم که سیستم درست است ( به این مفهوم که عبارت اثبات پذیر در سیستم یک عبارت درست است. بنابراین خصوصا هرگاه عبارت x<ay در سیستم اثبات پذیر باشد در آن صورت x واقعا عضو مجموعه ay خواهد بود)
خب تا اینجا بحث های اولیه مطرح شد زیاد سخت فکر نکنید خیلی ساده هست می تونید خیلی راحت با مثال های عادی برا خودتون جا بندازید
حالا فرض می کنیم p مجموعه اعداد گودل مربوط به کلیه عبارت های اثبات پذیر سیستم باشد. در اینجا نیز مکمل مجموعه a را با a~ نمایش می دهیم( مجموعه اعدادی که در a نیست) و مجموعه کلیه اعداد x را که در آن x*x متعلق به a باشد با a* نشان می دهیم.
اکنون سیستم هایی را مورد بررسی می دهیم که در آنها شرایط G1,G2,G3 به شرح زیر صادق باشد:
G1: مجموعه P در سیستم نامپذیر است. به بیان دیگر دست کم یک عدد p وجود دارد به طوری که ap مجموعه اعداد گودل عبارتهای اثبات پذیر سیستم باشد
G2: مکمل هر مجموعه نامپذیر در سیستم، خود یک مجموعه نامپذیر است. یعنی به ازای هر عدد x عددی مانند X` وجود دارد به طوری که ax مکمل ax باشد
G3: برای هر مجموعه نامپذیر a مجموعه a* نیز در سیستم نامپذیر است. به یبان دیگر به ازای هر عدد x عددی مانند x* پیدا می شود به طوریکه a* مجموعه کلیه اعداد n که در n*n عضو مجموعه ax هستند باشد.
خب می دونم این قسمتش سخت شد و درکش اصلا اسون نیست ولی با یه مثال این قسمت رو هم متوجه میشید که اونو در ادامه می گم
او در ابتدای رساله خود چنین می گوید:
تکامل ریاضیات در جهت دقت بیشتر موجب شده است که شاخه های بسیاری از آن به شکل صوری در آید، به طوری که با استفاده از عده کمی از قوانین مکانیکی می توان اثبات گزاره ها را انجام داد. جامعترین سیستم صوری حال حاضر از یک سو اصول ریاضیات نوشته راسل و از سوی دیگر سیستم اصول تئوری مجموعه ها اثر فرانکل است .( زیاد به این دو کتاب دقت نکنید همه مباحث این دو کتاب رو قبلا خوندین و بلد هستید
)با استفاده از این اصول می توان تمام اثبات های ریاضیات را انجام داد .
اما ما تو این بحث اثبات می کنیم که این جمله درست نیست و مسائلی وجود داره که با استفاده از این روش ها قادر به اثبات آن نخواهیم بود.
گودل در ادامه بیان می کند:
که این مطلب به ویژگی خاص دو سیستم مورد بحث بستگی ندارد بلکه در انواع بسیاری از سیسم های ریاضی صدق می کند.
عمرا اگه تا اینجا کسی چیزی فهمیده باشه
واسه همین مثال گودل رو بیان می کنیم.یک سیستم اصول با خواص زیر رو در نظر بگیرید. نخست برای مجموعه های گوناگون اعداد صحیح مثبت تعیین نام می کنیم و این مجموعه ها را در یک رشته نامحدود a1,a2,...an مرتب می کنیم.
بازم تعریف داریم و اون هم این هست که سیستم اصول یعنی چی؟ سیستم اصول به رشته معینی از عبارت ها گفته میشه که بر اساس قاعده هایی دقیق ساخته می شن
بازم متوجه نشدین حق دارین
حالا توضیح میدم الان
فرض کنید یه ماشین حساب داریم که واقعیت های گوناگون در مورد اعداد صحیح مثبت رو اثبات می کنه! یعنی مثلا اثبات می کنه که این عدد اول هست یا نه زوج هست یا فرد و امثال این
به این ماشین حساب ما میگیم یه سیستم اصول هست( بعضی ها هم می گن سیستم اصول-اثبات چون اثبات هاشون در هر رشته قرار می گیره)
خب این مجموعه های بالا مثلا می تونن اعداد فرد ، اعداد زوج، مضارب عدد 7 و ... باشند( باید توجه کرد که درسته این رشته ها بی نهایت هستند ولی از خود مجموعه اصلی که اعداد صحیح و مثبت هست کوچکتر هستند و می توان طبقه بندیشون کرد)
عدد n رو شاخص مجموعه نامپذیر a می گوییم هر گاه داشته باشیم a=an ( به عنوان مثال اگر مجموعه های a2 , a7, a5 مساوی باشند اعداد2 7 5 شاخص های این مجموعه ها خواهد بود)
همچنین به هر عدد x و y یک عبارت ارتباط می دهیم که به صورت x<y نوشته می شود( علامت زیر مجموعه نداشتیم کوچکتر گذاشتم
)و اگر x به ay تعلق داشته باشد عبارت را درست و اگر x به ay تعلق نداشته باشد عبارت را نادرست می نامیم.
در هر حال هر عبارت را تحت عنوان عبارت درست یا عبارت نادرست طبقه بندی می کنیم.
به هر عبارت سیستم یک عدد رمز نسبت می دهیم و آن را عدد گودل می نامیم و x*y را به عنوان عدد گودل عبارت x<ay نمایش می دهیم
( علامت ضرب نیست! صرفا جهت نمایش عدد بوده است و در رمز گذاری های مختلف این نمایش متفاوت هست)
عبارت های معینی را به عنوان اصول سیستم در نظر می گیریم، و قاعده های معینی را که با استفاده از آنها بتوان عبارت های گوناگونی را براساس اصول سیسم اثبات کرد مطرح می کنیم. بنابراین هر عبارت در سیستم دارای یک خاصیت معین( خاصیت اثبات پذیری)است. فرض می کنیم که سیستم درست است ( به این مفهوم که عبارت اثبات پذیر در سیستم یک عبارت درست است. بنابراین خصوصا هرگاه عبارت x<ay در سیستم اثبات پذیر باشد در آن صورت x واقعا عضو مجموعه ay خواهد بود)
خب تا اینجا بحث های اولیه مطرح شد زیاد سخت فکر نکنید خیلی ساده هست می تونید خیلی راحت با مثال های عادی برا خودتون جا بندازید
حالا فرض می کنیم p مجموعه اعداد گودل مربوط به کلیه عبارت های اثبات پذیر سیستم باشد. در اینجا نیز مکمل مجموعه a را با a~ نمایش می دهیم( مجموعه اعدادی که در a نیست) و مجموعه کلیه اعداد x را که در آن x*x متعلق به a باشد با a* نشان می دهیم.
اکنون سیستم هایی را مورد بررسی می دهیم که در آنها شرایط G1,G2,G3 به شرح زیر صادق باشد:
G1: مجموعه P در سیستم نامپذیر است. به بیان دیگر دست کم یک عدد p وجود دارد به طوری که ap مجموعه اعداد گودل عبارتهای اثبات پذیر سیستم باشد
G2: مکمل هر مجموعه نامپذیر در سیستم، خود یک مجموعه نامپذیر است. یعنی به ازای هر عدد x عددی مانند X` وجود دارد به طوری که ax مکمل ax باشد
G3: برای هر مجموعه نامپذیر a مجموعه a* نیز در سیستم نامپذیر است. به یبان دیگر به ازای هر عدد x عددی مانند x* پیدا می شود به طوریکه a* مجموعه کلیه اعداد n که در n*n عضو مجموعه ax هستند باشد.
خب می دونم این قسمتش سخت شد و درکش اصلا اسون نیست
ولی با یه مثال این قسمت رو هم متوجه میشید که اونو در ادامه می گم
البته مثال طولانی هست و همچنان ادامه داره