بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

"الف عقیده دارد که ب دیوانه است "

ینی گفته ب بیماره یا گفته من عقیده دارم که ب بیماره؟

فرقی نمی کنه که
اون در صورتی هست که خود طرف بگه من عقیده دارم که دو بار عقیده محسوب بشه

و چون راستگو هستند پس فرقی نمی کنه الان

(البته چون تو ترجمه یه خورده نامفهوم هست این مشکل یش اومده متن اصلی واضح تر از این هست)

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

تیمارستان هشتم

تیمارستان هشتم کاملا اسرارآمیز بود، اما کریگ سرانجام به کنه قضایا پی برد. او دریافت که در آن جا شرایط زیر برقرار است:

1. از میان هر دو نفر (a, b) یا a به b اعتماد دارد یا ندارد.
2. برخی از ساکنان معلم ساکنان دیگر هستند و هر نفر دست کم یک معلم دارد.
3. هیچ فرد A حاضر نیست معلم B باشد مگر آن که A عقیده داشته باشد که B به او اعتماد دارد.
4. برای هر فرد A فردی مانند B وجود دارد که فقط به کلیه کسانی که دست کم یک معلم مورد اعتماد A دارند اعتماد دارد. (به بیان دیگر، برای هر فرد b,x در صورتی به X اعتماد خواهد داشت که A به یک معلم X اعتماد داشته باشد و B به X اعتماد نمی کند مگر آن که A به یک معلم X اعتماد کند.)
5. یک نفر وجود دارد که به همه بیماران اعتماد دارد و به هیچ پزشکی اعتماد ندارد.

کاراگاه مدت زیادی به مسئله تیمارستان هشتم فکر کرد و سرانجام ثابت کرد که یا یکی از بیماران عاقل است یا یکی از پزشکان دیوانه است.
ایا شما می توانید این نتیجه را ثابت کنید.


(قبول دارم سخته ولی ممکنه)

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

راهنمایی برای سوال 8

بر طبق اصل 5 در این بیمارستان شخصی وجود دارد که به همه بیماران اعتماد می کند ولی به هیچ یک از پزشکان اعتمادی ندارد نام این شخص را سما میگذاریم
بر طبق اصل 4 شخصی وجود دارد که فقط به افرادی اعتماد دارد که دست کم یک معلمو مورد اعتماد سما داشته باشند و این شخص را احمد می نامیم

یعنی که به ازای هر فرد x اگر احمد به x اعتماد کند، در ان صورت سما دست کم به یک معلم x اعتماد می کند و اگر احمد به x اعتماد نکند، سما به هیچ یک از معلم های x اعتماد نمی کند.
(حالا باز باید از گزاره 5 استفاده کنید و مسئله رو پیش ببرید و حالت بندی کنید)

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

راهنمایی برای سوال 8

بر طبق اصل 5 در این بیمارستان شخصی وجود دارد که به همه بیماران اعتماد می کند ولی به هیچ یک از پزشکان اعتمادی ندارد نام این شخص را سما میگذاریم
بر طبق اصل 4 شخصی وجود دارد که فقط به افرادی اعتماد دارد که دست کم یک معلمو مورد اعتماد سما داشته باشند و این شخص را احمد می نامیم

یعنی که به ازای هر فرد x اگر احمد به x اعتماد کند، در ان صورت سما دست کم به یک معلم x اعتماد می کند و اگر احمد به x اعتماد نکند، سما به هیچ یک از معلم های x اعتماد نمی کند.
(حالا باز باید از گزاره 5 استفاده کنید و مسئله رو پیش ببرید و حالت بندی کنید)

خب چون طبق شرط 5 مورد اعتماد بودن سما معادل بیمار بودن است در نتیجه می شه این نتیجه رو گرفت
به ازای هر فرد x اگر احمد به x اعتماد کند.در ان وصرت دست کم یک معلم x بیمار است، و اگر بیل به x اعتماد نکند در ان صورت هیچ یک از معلم های x بیمار نیست.

چون این گزاره در مورد هر یک از افراد تیمارستان صحیح است در نتیجه به جای x احمد را قرار میدهیم و مسئله رو طبقه بندی می کنیم

1.اگر احمد به خودش اعتماد دارد. در ان صورت دست کم یک معلم بیمار دارد.
2.اگر احمد به خودش اعتماد نکند، در ان صورت هیچ معلم بیمار ندارد.

حال تک تک این موارد رو بررسی می کنیم

مورد1:
در این صورت احمد دست کم یک معلم دارد که بیمار است او را ممد می نامیم چون ممد معلم احمد است. بنابراین عقیده دارد که احمد به خودش اعتماد دارد(شرط 3). از طرفی احمد نیز واقعا به خود اعتماد دارد. بنابراین عقیده ممد درست است و درنتیجه او عاقل است و نبایستی در تیمارستان باشد.

مورد2:
در این مورد هیچ یک از معلم های احمد بیمار نیست. اما در هر حال احمد نیز مانند هر یک از ساکنان دیگر دست کم یک معلم دارد که او را ریحانه می نامیم. ریحانه بایستی پزشک باشد. در ضمن چون ریحانه معلم احمد است پس عقیده دارد که احمد به خودش اعتماد دارد. چون عقیده او نادرست است پس دیوانه است. بنابراین ریحانه پزشکی دیوانه است.


به طور خلاصه اگر احمد به خود اعتماد بکند در ان صورت دست کم یکی از بیماران عاقل است.
و اگر اعتماد نکند در ان صورت درست کم یکی از پزشکان دیوانه است.

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

تیمارستان نهم

در این تیمارستان کریگ با چهار نفر گفت و گو کرد: A,B,C,D. شخص A عقیده داشت که B,C از نظر عقلی شبیه یک دیگرند.B عقیده داشت که A,D از نظر عقلی شبیه یک دیگرند. کریگ از C پرسید "ایا شما و D هر دو پزشکید؟".
C جواب داد "خیر".

ایا در این تیمارستان مسئله ای هست؟

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

تیمارستان نهم

در این تیمارستان کریگ با چهار نفر گفت و گو کرد: A,B,C,D. شخص A عقیده داشت که B,C از نظر عقلی شبیه یک دیگرند.B عقیده داشت که A,D از نظر عقلی شبیه یک دیگرند. کریگ از C پرسید "ایا شما و D هر دو پزشکید؟".
C جواب داد "خیر".

ایا در این تیمارستان مسئله ای هست؟

اول باید مشخص کنیم که ایا c و d از نظر عقلی شبیه به هم هستند یا نه.
فرض می کنیم که a و b هر دو عاقل باشند. در این صورت bو c واقعا شبیه به یکدیگر خواهند بود. و a و d هم به یکدیگر از نظر عقلی شبیه هتسند و این یعنی اینکه هر چهار نفر عاقل هستند.
پس در این مورد c و d هر دو عاقل و بنابراین مشابه هستند.

حال فرض می کنیم a دیوانه و b عاقل باشد. در این صورت bوc تفاوت دارند که در نتیجه c دیوانه است، اما a و d شبیه به یکدیگر هستند و این یعنی که d نیز دیوانه است.

در نهایت فرض می کنیم a وb هر دو دیوانه باشند در این صورت bو c متفاوتند و a,d نیز متفاوت هستند درنتیجه c ,d هر دوعاقل و شبیه به یکدیگرند.

به طور خلاصه اگر a,b مشابه باشند c ,d هر دوعاقل خواهند بود و اگر a,b متفاوت باشند، c و d هر دو دیوانه هستند.

حال فرض می کنیم که هر دو عاقل باشند. در این صورت گفته c که بر اساس آن او و d هر دو پزشک هستند نیستند درست است و این بدان معنا است که دست کم یکی از انها بیمار عاقل است.
و اگر c,d هر دو دیوانه باشند، در ان صورت گفته c نادرست است و این بدان معنا است که هر دو انها پزشک دیوانه هستند.
بنابراین در این تیمارستان یا دست کم یک بیمار عاقل وجود دارد و یا دست کم دو پزشک دیوانه


نکته خیلی مهم
اینجور مسایل رو خیلی راحت میشه با کشیدن یک نمودار درختی و به سادگی هرچه تمام تر حلش کرد(چون من نتونستم نمودارش رو تو تاپیک بکشم مجبور شدم اینجوری توضیح بدم)

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

تیمارستان دهم

کارگاه کریک مسئله این تمیارستان گرچه حل کردنش دشوار بود، بسیار جالب توجه یافت. نخستین نکته ای که کشف کرد این بود که ساکنان تیمارستان کمیته های گوناگون تشکیل داده بودند. در یک کمیته ممکن بود هم پزشک و هم بیمار و همچنین عاقل و هم دیوانه عضو باشند. کاراگاه به واقعیت های زیر دست یافت:

1. همه بیماران یک کمیته تشکیل داده بودند
2. همه پزشکان یک کمیته تشکیل داده بودند
3. هر کس در تیمارستان دوستان بسیار داشت.که یکی از انها بهترین دوستش بود و همچنین هرکس بسیار دشمن داشت که یکی از انها بدترین دشمنش بود.
4. همه کسانی که بهترین دوستشان در کمیته معین c بود یک کمیته تشکیل داده بودند. همچنین همه کسانی که بدترین دشمنشان در کمیته C بود یک کمیته تشکیل داده بودند.
5. در هر دو کمیته 1 و 2 دست کم شخصی مانند d وجود دارد که بهترین دوستش عقیده دارد که او در کمیته 1 و بدترین دشمن عقیده دارد که او در کمیته 2 است.

کریگ با جمعبندی این واقعیتها به طور جالب توجهی اثبات کرد که یکی از پزشکان دیوانه است یا یکی از بیماران عاقل او چگونه به این نتیجه رسید.

میدونم سخته بعد یک روز راهنمایی رو قرار میدم

 

[lighting]

پاسخ : بیمارستان دکتر تار و پروفسور فذر [ معمای ریاضی ]

مسئله بعدی در همان تیمارستان
کریگ موضوع دیگری را نیز در مورد این تیمارستان ثابت کرد. او این موضوع را بسیار مهم تلقی کرد. در واقعا با استفاده از راه حل این مسئله مسئله قبل و مسئله بعدی را خیلی اسان تر حل کرد.موضوع از این قرار بود که در هر دو کمیته 1 و 2 یک نفر مانند E ویک نفر مانند F وجود داشت به طوریکه E عقیده داشت که F در کمیته 1 و F عقیده داشت که E در کمیته 2 است. کاراگاه چگونه به این نتیجه رسید؟

اگه این سوال رو حل کنید درک سوال قبلی و حل کردنش خیلی اسون تر میشه